“你們好！我很高興能來到這里為大家進(jìn)行匯報。”
首次在復(fù)旦大學(xué)作演講的數(shù)學(xué)家、菲爾茨獎得主安德烈·奧昆科夫（Andrei Okounkov），以中文作為開場白親切問候，激起現(xiàn)場聽眾的熱烈掌聲。
“中文是一門很復(fù)雜的語言，對我而言充滿挑戰(zhàn)，就像數(shù)學(xué)對很多人而言充滿挑戰(zhàn)一樣。”明天將迎來55歲生日的奧昆科夫正在努力學(xué)習(xí)中文，他希望告訴大家，數(shù)學(xué)的美麗無與倫比，即使這份美麗有時沒那么容易理解。
今天（7月25日）上午，第七期“浦江科學(xué)大師講壇”在復(fù)旦大學(xué)相輝堂舉行，奧昆科夫教授以“表示論的源頭與碩果”為題分享了他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的獨(dú)到見解。
作為當(dāng)代最杰出的數(shù)學(xué)家之一，奧昆科夫解決了多個重要猜想和重大問題，在表示論、代數(shù)幾何、動力系統(tǒng)、組合學(xué)、概率論、弦理論、統(tǒng)計力學(xué)等多個領(lǐng)域做出了奠基性的工作成果，并以將概率論、表示論和代數(shù)幾何相互聯(lián)系的工作榮獲2006年菲爾茨獎。
上海市政協(xié)副主席吳信寶出席講壇并為安德烈·奧昆科夫教授頒發(fā)“主講科學(xué)家”紀(jì)念證書，復(fù)旦大學(xué)校長、中國科學(xué)院院士金力主持講壇并致辭。上海市政協(xié)、市科技工作黨委、市科委、市教委、市科協(xié)、頂科協(xié)等單位負(fù)責(zé)人，上海市各高校、中學(xué)師生及科研人員代表出席活動。
從對稱性出發(fā) 追溯表示論源流
表示論的源頭是什么？不妨先看看這些充滿對稱的圖形：正多面體、晶體結(jié)構(gòu)，還有各種美麗繁復(fù)的飾品花紋。
“人類喜歡對稱，正是對稱思維激發(fā)了表示論的誕生。”奧昆科夫?qū)r間軸拉回古希臘時代。當(dāng)時的人們并不理解對稱背后的數(shù)學(xué)含義，只是樸素地將其和“火”、“氣”、“水”、“土”和“以太”等神秘的“基本元素”聯(lián)系起來。
數(shù)學(xué)中的對稱性有兩大分類——離散對稱性和連續(xù)對稱性，其本質(zhì)區(qū)別在于是否可以存在微小的擾動。比如奧昆科夫展示的畢加索畫作《舞會上的雜技演員》中，雜技演員腳下的球體經(jīng)過微小的擾動就可以到達(dá)新的平衡位置，而觀眾身下的立方體僅有6個平衡位置。
“當(dāng)我們看到一個現(xiàn)象，不應(yīng)僅僅思考這個現(xiàn)象，而應(yīng)思考其背后的一般規(guī)律。這需要一種正確的、系統(tǒng)性的闡述方式。”奧昆科夫說，數(shù)學(xué)家們就是用抽象符號給出了對以上現(xiàn)象的闡述方式——抽象代數(shù)中“群”的概念。
群是數(shù)學(xué)研究的基本對象之一，簡單來說，它是一個帶有“乘法”作用的集合，這樣一個抽象概念可以很好地描述“對稱”這一現(xiàn)象。“我們可以用對稱變換的全體——對稱變換群來描述研究對象的對稱性。”
奧昆科夫用SO(3)（即三維空間的旋轉(zhuǎn)變換群）為例，形象解釋了這樣一個抽象的群如何具體和一個半徑為π的實(shí)心球體中的點(diǎn)對應(yīng)起來，并通過將球殼的對徑點(diǎn)粘合，將SO(3)和三維射影空間等同起來。
他認(rèn)為，不同的對象可能擁有相同的對稱群，比如正十二面體和正二十面體，因此我們應(yīng)該研究群在具體對象上的“表現(xiàn)形式”，表示論就是研究這種“表現(xiàn)形式”的數(shù)學(xué)。表示論的核心是，不僅考慮我們研究的對象，還應(yīng)該進(jìn)一步考慮該對象所在的歐式空間，如正多面體所在的三維空間和正多邊形所在的二維平面，將研究對象上的變換延伸到整個空間上，這一般也被稱為群作用在整個空間上。
奧昆科夫進(jìn)一步解釋，線性作用在所有的作用中扮演著特殊角色，這種將代數(shù)結(jié)構(gòu)中的元素表示為歐式空間上的線性變換的方式，就叫做表示論。
“群只是一種內(nèi)在結(jié)構(gòu)，表示才是真正起作用的地方，而線性表示的特殊之處在于，它可以被分解成一些基本結(jié)構(gòu)——不可約表示。”在他看來，通過研究不可約表示，群的代數(shù)結(jié)構(gòu)與其在現(xiàn)實(shí)世界的作用之間搭起了一座溝通的橋梁。
搭建抽象理論 與現(xiàn)實(shí)世界間的橋梁
與數(shù)學(xué)界許多更為古老的領(lǐng)域相比，20世紀(jì)后半葉興起的表示論稱得上一個相對年輕的方向，當(dāng)下更是以日新月異的速度發(fā)展，并與其他學(xué)科呈現(xiàn)交叉融合趨勢。
作為表示論領(lǐng)域的領(lǐng)軍人物，奧昆科夫認(rèn)為表示論目前在理論物理、計數(shù)幾何等研究領(lǐng)域展現(xiàn)出了相當(dāng)重要的價值，這一抽象的數(shù)學(xué)理論在現(xiàn)實(shí)世界的研究中也發(fā)揮著越來越重要的作用。
奧昆科夫介紹了一類重要的群——Weyl群，這也是表示論與物理學(xué)融合的重要案例。相比一般包含對稱、旋轉(zhuǎn)、反射和滑反射等變換的對稱群，Weyl群是僅由反射組成的有限群。
通過展示17張貓咪圖案壁紙，奧昆科夫解釋了Wyel群的罕見性：“這是將貓咪圖案通過對稱變換得到的非常漂亮的17張照片，但是其中只有4張照片，它的對稱群僅由反射組成。”
而通過六邊形結(jié)構(gòu)雪花的例子，他解釋了Weyl群在表示晶體群結(jié)構(gòu)及量子色動力學(xué)等領(lǐng)域的重要作用。在此基礎(chǔ)上，他進(jìn)一步介紹了仿射Kac‐Moody群——由反射生成的無限晶體群，可以用來描述物理上有無限維自由度的量子系統(tǒng)，這一重要特性讓其在量子場論等物理研究領(lǐng)域有著重要應(yīng)用。
在表示論如何對應(yīng)現(xiàn)實(shí)世界的問題上，奧昆科夫使用SO(3)的表示刻畫氫原子結(jié)構(gòu)這一案例為聽眾解釋表示論搭建由抽象世界到現(xiàn)實(shí)世界橋梁的過程。
數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，SO(3)的不可約表示可以和物理上電子軌道對應(yīng)起來。通過把研究對象分解成不可約表示，表示論在量子力學(xué)、偏微分方程、數(shù)論等多個重要領(lǐng)域發(fā)揮了重要的作用。
“表示論與其他學(xué)科的結(jié)合是一個重要研究方向。把這些數(shù)學(xué)理論應(yīng)用到具體問題的解決中是很有意義的，這也意味著我們對相關(guān)理論的理解達(dá)到了新的高度。”奧昆科夫相信，表示論對物理和化學(xué)等學(xué)科的作用仍有許多尚待挖掘。
關(guān)注AI同時 不能忘記經(jīng)典理論
近年來，奧昆科夫與中國數(shù)學(xué)界有著頻繁交流與合作，2023年11月他當(dāng)選為中國科學(xué)院外籍院士。奧昆科夫曾多次造訪我國高校，與國內(nèi)優(yōu)秀年輕學(xué)者面對面交談。今年，他成為上海數(shù)學(xué)與交叉學(xué)科研究院（SIMIS）訪問學(xué)者。
與許多數(shù)學(xué)研究者的成長經(jīng)歷不同，奧昆科夫年輕時最初涉足的是經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，而后才轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)理論研究。
面對聽眾提問，他回顧了當(dāng)年的心路歷程：“很多研究者都會對自己所屬的學(xué)科有一種朋友般的親近感。我當(dāng)時也非常喜歡經(jīng)濟(jì)學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)本身就是充滿數(shù)學(xué)工具的學(xué)科，但我最終發(fā)現(xiàn)自己最喜愛的還是數(shù)學(xué)理論研究，事實(shí)也證明這是最適合我的專業(yè)方向。”
“作為研究人員，你可以適當(dāng)挑戰(zhàn)自己，但歸根結(jié)底你還是要找到你適合的研究領(lǐng)域，而不是強(qiáng)迫自己學(xué)習(xí)不喜歡的東西。”他強(qiáng)調(diào)。
奧昆科夫被認(rèn)為是一個涉獵廣泛的數(shù)學(xué)家。他的工作很難歸類，因?yàn)樗婕暗饺绱硕嗟念I(lǐng)域，但有兩個明顯的主題，就是使用隨機(jī)性的概念和表示論中的經(jīng)典思想。
“從個人職業(yè)生涯來說，我可能在解決某一個問題的時候會聯(lián)動很多其他學(xué)科，而我們會發(fā)現(xiàn)，最終解決這些問題的歸因都來自最初的那幾個問題。”他坦言。
因此，給予年輕學(xué)子建議時，奧昆科夫總是反復(fù)提及“打好基礎(chǔ)”。他認(rèn)為，信息爆炸的時代，許多年輕人在學(xué)習(xí)前沿知識方面展現(xiàn)出超凡熱情，這一點(diǎn)值得肯定。但他希望大家在學(xué)習(xí)新興成果時，也不要忘記那些優(yōu)秀的學(xué)術(shù)經(jīng)典和傳統(tǒng)，不要忘記從數(shù)學(xué)學(xué)科悠久的歷史長河中汲取力量。
正如當(dāng)下，人工智能發(fā)展如火如荼，奧昆科夫認(rèn)為，人工智能是數(shù)學(xué)研究的有力工具，可以在人工智能建模、大樣本量計算等方面大大降低數(shù)學(xué)家的工作負(fù)擔(dān)，但從另一個角度而言，人工智能并不能完全取代數(shù)學(xué)研究者本人的工作，尤其是在精確性等指標(biāo)上，其表現(xiàn)仍有不足。
“我們既不能固守傳統(tǒng)，也不能一味追求AI的發(fā)展。”在奧昆科夫看來，傳統(tǒng)計算方法與最新的人工智能研究方法可以在數(shù)學(xué)理論研究中和諧共存，這需要我們用好數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的同時，及時吸納人工智能最新應(yīng)用。
loading......